بنام خدا

مختصري در باره ي رابطه ي فيثاغورس

تحقيق از : عبد الرسول صابري

مدرسه راهنمايي غير انتفاعي هدايت داراب

صفحه 1                                                       بنام خدا

دوران زرّين دانش يوناني ، از حدود 600  سال پيش از ميلاد ( يعني نزديك به 2600 سال پيش ) آغاز مي شود و اگر كارهاي دانشمندان مكتب اسكندريه ( در عصر امروز ) را هم به حسابِ يوناني ها بگذاريم ( كه تا حد زيادي هم بايد چنين كنيم ) اين دوران درخشش دانش و فلسفه و هنر ، اندكي كمتر از هزار سال طول كشيد 0

در اينجا به اين مطلب نمي پردازيم كه دانش و هنر از كجاها و چگونه به يونان رسيد كه خود روايتي دراز دارد بلكه تنها به اشاره هايي در مورد خود جامعه يوناني و به ويژه ، ديدگاه هاي رياضي آنها ( و در اينجا بخصوص در باره عدد ) بسنده مي كنيم 0

سرمين يونان در آن زمان به روش برده داري شخصي اداره مي شد 0 جامعه به دو گروه بزرگ تقسيم شده بود : << آزادها >> و << برده ها >> 0

همه كارهاي عملي برعهده ي برده ها بود وبراي آزادها ، كار كردن و به كارهاي عملي پرداختن ، <<زشت >> و << ننگ >> بود 0

وقتي از آزادي و دموكراسي يونان باستان صحبت مي كنند ، منظور آزادي هدايت شده اي بود كه تنها براي آزادها بود ودر واقع برده ها هيچ گونه حقي و يا حرمتي نداشتند 0

در زمينه دانش هم ( كه البته براي آزادها بود ) به جنبه هايي از دانش ، كه در عمل مي توانست مورد استفاده قرار گيرد  ، به نظر تحقير مي نگريستند 0 به همين دليل ، هندسه را – كه گمان مي كردند به كار عملي نمي خورد – بسيار پيش بردند ، در حالي كه در حساب گام اوليه را هم بر نداشتند ( هنوز عدد ها را بكمك الفبا مي نوشتند و لذا انجام عملهاي جمع وضربو تقسيم  با دشواريهاي فراوان روبرو بودند ) 0

همه ي دانشمندان يوناني در ضمن ، فلسفه اي هم براي خود داشتند ، يعني به نحوي پيدايش جهان و قانونهاي هستي را تفسير مي كردند 0

به عنوان نمونه ، تالس ( كه از نخستين رياضيدانان بزرگ يونان بود ) سرچشمه ي همه چيز را  << آب>>    مي دانست و فيثاغورس ( كه اوهم از نخستين رياضيدانان مشهور يونان است) ، معتقد بود كه << عدد بر جهان حاكم است >> 0

در اينجا مي خواهيم به واقعه اي از تاريخ رياضيات اشاره كنيم كه هم در پيشرفت بعدي رياضيات و هم در       سر نوشت فلسفه فيثاغورس اثري جدي داشته است 0

فيثاغورس پيش از 2500 سال پيش زندگي مي كرد و ماهنوز در ، كتابها ودرسهاي هندسه ÷ قضيه اي را ياد مي گيريم كه نام << فيثاغورس >> را بر خود دارد 0

اين قضيه مي گويد :

اگر طول ضلعهاي مثلث راست گوشه ( قائم الزاويه ) را در نظر بگيريم ، هميشه مجذور طول وتر با مجموع مجذورهاي طولهاي دو ضلع مجاور به زاويه قائمه برابر است 0

به عبارت ديگر در مثلث راست گوشه  ABC كه در آن زاويه به راس A برابر 90 درجه است ، داريم :

اين قضيه ، چنان اثري بر تاريخ رياضيات داشته است كه<< توبياس دانتزيگ >> دانشمند آمريكايي ، كه كتابهاي زيادي در باره ي تاريخ و فلسفه ي رياضيات دارد ، معتقد است كه :

<< هيچ كدام از قضيه هاي هندسي ، مانند رابطه ي ساده اي كه با نام قضيه فيثاغورس شناخته شده چنين اثري بر همه ي شاخه هاي رياضيات نداشته است 0 در واقع ، از اين لحاظ مي توان سنجش بزرگي از سرگذشت رياضيات رسمي و همچنين رياضيات نو ، را در باره ي اين قضيه نوشت >>

صد ها سال پيش از فيثاغورس ، در مصر ، بابل ، عيلام و در بسياري جاهاي ديگر ، حالتهاي خاص اين قضيه را   مي شناختند و از آن در عمل براي رسم خط راست عمود بر هم ( بطور مثال در روي زمين ) استفاده مي كردند 0

اگريك تكه طناب به طول 12 واحد در نظر بگيريم ودر دو نقطه آن ، گره هايي بزنيم به نحوي كه طناب را به بخشهاي 3 و 4 و 5 متري تقسيم كرده باشد ، هر وقت با اين طناب يك مثلث بسازيم مثلثي راست گوشه بدست مي آيد ، يعني دو ضلع آن برهم عمود مي شوند 0

مثلث با ضلعهاي 3 و 4 و 5 وگاهي مثلث با ضلعهاي 5 و 12 و13 را ، مثلث مصري  يا بابلي مي خوانند ، ولي به ظاهر فيثاغورس يا يكي از شاگردان او اين قضيه را براي نخستين بار بصورت كلي خود مطرح كرده است ، ولي بعيد بنظر مي رسد كه استدلالي براي آن داشته اند 0

رياضيدانان ديگري از جمله تالس بودند كه << قضيه فيثاغورس >> را ثابت كردند و سپس اقليدس در كتاب معروف خود به نا << مقدمات >> آن را در دو جا و با دو روش اثبات كرده است كه به احتمال زياد هيچ كدام از آنها متعلق به خود اقليدس نيست 0

بعد ها بوسيله رياضيدانان دوره هاي بعد دهها روش استدلالي براي آن پيدا شد كه در اينجا اثبات روش           << فضل نيريزي  >> ، رياضيدان مسلمان پايان سدهي سوم هجري قمري را مي آوريم 0

اين روش بر اين اساس است كه مساحت مربعي كه روي وتر ساخته شده برابر است با مجموع مساحتهاي دو مربعي كه ضلعهاي مجاور به زاويه ي قائمه ساخته شود 0

اگر به شكل دقت كنيد خيلي زود متوجه مي شويد كه مساحت مربع  ABCD برابر است با مجموع مساحتهاي دو مربع AFKE  و GCHK 0

هواداران فيثاغورس ، عدد را به معناي عدد طبيعي  ويا نسبت دو عدد طبيعي مي شناختند و وقتي مي گفتند ، هر پديده ي مادي يا غير مادي را مي توان به ياري عدد بيان كرد ، منظورشان عدد هايي مثل 2 و 5و 34 و يا ويا   و غيره بود 0

 اكنون مربعي را در نظر بگيريد كه ضلع آن طولي برابر يك سانتيمتر داشته باشد 0 قطر اين مربع برحسب سانتيمتر چه عددي مي شود ؟

امروز با استفاده از فيثلغورس مي گوييم :   سانتيمتر 0

 يعني چه ؟  يعني عددي كه اگر آنرا در خودش ضرب كنيم برابر 2 بشود 0 هواداران فيثاغورس در جست و جوي دو عدد بودند كه نسبت آنها برابر  باشد 0

  از  بزرگتر و   از  كوچكتر است . اين را به سادگي مي توان فهميد 0

هواداران فيثاغورس متوجه شدند ، چنين عددي وجود ندارد ، يعني نمي توان دو عدد طبيعي پيدا كرد كه نسبت آنها درست برابر طول قطر مربع باشد 0

اجتماع فيثاغوري ، كه با قانونهاي سخت اداره مي شد و كسي جرات چون و چرا نداشت به لرزه افتاد ، نخستين كسي كه از جمع آنها بيرون رفت ، فيلسوف و رياضيداني به نام << هيپازوس >> بود 0 ولي بيشتر پيروان اين تفكر ، چون سالها با اين باور ها خو گرفته بودند و به آن دل بسته بودند در آنجا ماندند . آنها با هم قرار گذاشتند كه هيچ كس حق ندارد اين راز را به بيرون ببرد و بايد در باره ي آن << گنگ  >>  باشند 0 و از همين جا نام << گنگ>> روي عدد هايي مثل  باقي ماند 0

برخي هم معتقدند كه هواداران فيثاغورس پديده هاي جهان را به دو دسته تقسيم كرده اند : آنها كه با عدد قابل بيان هستند ، كه به آنها نام << گويا >> را دادند و آنها كه با عدد قابل بيان نيستند و آنها را  <<گنگ >>خواندند 0

ولي نه اين پنهان كاري و نه تقسيم بنديِ گويا و گنگ ، فلسفه ي فيثاغورس را نجات نداد و بتدريج از بين رفت 0

مي گويند نخستين كسي كه راز قطر مربع را فاش كرده بود ( به احتمالي ، همان هيپازوس ) ، بوسيله پيروان فيثاغورسي در دريا غرق شد ، ولي چنين شايعه كردند كه ، چون   به عدد اهانت كرده بود ، گرفتار خشم خدايان شد 0

                                   از توجه شما به مطالب علمي سپاسگذاري مي شود              عبد الرسول صابري

                                     مدرسه راهنمايي غير انتفاعي هدايت داراب