دخترها، پسرها، خواهرها

فکر می‌کنید به طور متوسط دخترها خواهران بیش تری دارند یا پسرها؟ در نگاه اول به نظر می‌رسد در شمارش تعداد خواهرها، دخترها همیشه یک خواهر کم تر از پسرها دارند و تعداد خواهران پسرها بیش تر است؛ چرا که مثلاً در خانواده هایی که یک پسر و یک دختر دارند، پسر یک خواهر دارد ولی دختر خواهری ندارد و یا در خانواده ای با دو دختر و دو پسر، پسر ها هرکدام دوخواهر دارند اما دخترها هر کدام یک خواهر دارند.

در خانواده های اطراف شما تعداد خواهران پسرها بیش تر است یا تعداد خواهران دخترها؟

برای پیدا کردن جواب این سؤال باید از شبیه سازی وضعیت واقعی استفاده کنیم. با هر بار زدن یکی از دکمه‌ها در Applet زیر، 1 تا 10000 خانواده 0 تا 5 فرزندی ظاهر می‌شوند و اطلاعات آن ها به لیست اضافه می‌شود. احتمال تولد پسرها و دخترها را مساوی فرض می‌کنیم. در جدول تعداد کل خانواده‌ها به تفکیک تعداد فرزند و تعداد فرزندان پسر را می‌بینید. در ادامه اطلاعات مختلفی راجع به جامعه ی به وجود آمده مشاهده می کنید، از جمله اعدادی که در این بررسی مورد نظر ما هستند. ( یعنی میانگین تعداد خواهرهای هر پسر و میانگین تعداد خواهر های هر دختر )

• تعداد خانواده ها
• تعداد فرزندان
• میانگین فرزند برای هر خانواده
• تعداد پسر ها
• میانگین پسر برای هر خانواده
•  تعداد دخترها
• میانگین دختر برای هر خانواده
• میانگین خواهرها برای هر پسر
• میانگین خواهرها برای هر دختر

برای دیدن این بخش شما به نرم افزار جاوا نیاز دارید

همان طور که می‌بینید با افزایش تعداد کل خانواده‌ها، دو عدد مورد نظر ما یعنی میانگین تعداد خواهرهای هر پسر و میانگین تعداد خواهر های هر دختر به طرز عجیبی به هم نزدیک می‌شوند. یعنی بر خلاف قضاوت اولیه ی ما به طور متوسط پسرها به همان اندازه ی دخترها، خواهر دارند. اما چرا این طور است؟ برای این که موضوع را تا حدی روشن تر کنیم، تعداد خواهران پسرها و دخترها را در جامعه ای تشکیل شده از همه ی خانواده های 3 فرزندی ممکن، می‌شماریم. تعداد این خانواده‌ها 8 عدد است. (چرا؟)

فرزندان	خواهران پسرها	خواهران دخترها	فرزندان	خواهران پسرها	خواهران دخترها
	0×3	2×3		1×2	0×1
	1×2	1×2		1×2	0×1
	1×2	1×2		1×2	0×1
	1×2	1×2		0×3	0×0

مشاهده می کنید که تعداد خواهران پسرها و دخترها با هم مساوی و برابر 12 است.

اگر سعی کنید همین شمارش را برای خانواده های 4، 5 و ... فرزندی انجام دهید، خواهید دید این حکم در مورد تمام خانواده های با تعداد فرزندان مساوی ( برابرn ) برقرار است.

این محاسبه را برای کسانی که علاقه مند هستند، انجام می دهیم: 

 جامعه ی خانواده های n فرزندی ممکن را در نظر بگیرید. اگر تعداد خواهران پسرها را با و تعداد خواهران دخترها را با  نشان دهیم، آن گاه با توجه به این که در خانواده ای با s دختر و n-s پسر، تعداد خواهران پسرها برابر  و تعداد خواهران دخترها برابر  است، می‌توان نوشت:

با یک محاسبه ی ساده داریم:

و با همین روش می‌توانیم نشان دهیم که :.

یعنی  . و از آن جا که در این جامعه تعداد پسرها با تعداد دخترها برابر است ( چرا؟ )، بنابراین میانگین تعداد خواهران هر پسر و میانگین تعداد خواهران هر دختر با هم برابر خواهند بود.

نتیجه: گاهی اوقات با مواردی رو به رو می شویم که شهود ما در مورد آن مرتکب اشتباه می‌شود. یکی از اهداف اولیه ی ریاضیات، جلوگیری از همین نوع اشتباهات حسی و هدایت شهود است.

نویسنده: سعید شعبانی رکن وفا