حلقه

هرگاه  یک مجموعه ناتهی باشد ، گوییم مجموعه  تحت دو عمل جمع و ضرب یک حلقه است ، هر گاه: 


  1. یک گروه جابجایی باشد
  2.  یک نیمگروه باشد.
  3. خاصیت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از چپ و راست در  برقرار باشد.

 

حلقه جابجایی

هرگاه حلقه  تحت عمل ضرب دارای خاصیت جابجایی باشد ، گوییم  یک حلقه جابجایی(آبلی ) است. 


 

مقسوم علیه صفر

هرگاه  یک حلقه باشد ، عنصر  را یک مقسوم علیه صفر نامند ، هرگاه عضوی مانند  در حلقه  وجود داشته باشد ، بطوریکه. 
در این تعریف اگر ، آنگاه  را مقسوم علیه چپ صفر می‌نامد و اگر  ،آنگاه  را مقسوم علیه راست صفر می‌نامند. 


 

واحد حلقه

اگر یک حلقه باشد،گوییم عنصری چون ،یک حلقه(واحد حلقه) است،هرگاه  تحت عمل ضرب، عضو همانی باشد. یعنی: 



اگر حلقه ای دارای عنصر واحد باشد، گوییم حلقه یکدار است و این یک را با نماد  نشان می‌دهیم. 


 

حلقه بدیهی

حلقه ای که فقط شامل عنصر صفر باشد، حلقه بدیهی نامیده می‌شود. 

نکته

اگر  ، حلقه بدیهی باشد، یعنی ، آنگاه . 


 

قضیه

اگر  یک حلقه و  باشند ،آنگاه گزاره های زیر برقرارند: 


 1

 2

 3

 4

 5

 

عنصر یکال

هر گاه  یک حلقه یکدار باشد، عنصر  را عنصر یکال می‌نامیم ، هرگاه  دارای وارون ضربی باشد .یعنی: 



 

نکته

  1. در حلقه ، عنصر  یکال است، هرگاه .
  2. عنصر یک هر حلقه منحصر بفرد است، اما یکال حلقه ، یکتا نیست.
  3. اگر یک حلقه مخالف صفرو  یکدار نیز باشد، آنگاه .
  4. هر گاه حلقه یکدار و عنصر یکال باشد، آنگاه  مقسوم علیه صفر نیست.

 

 

 

میدان

میدان در ریاضیات و جبر مجرد به معنای ساختاری جبری است که در آن چهار عمل جمع و تفریق و ضرب و تقسیم بجز تقسیم بر صفر تعریف شده باشد و هر دو عمل خاصیت جابجایی داشته باشند.

به بیان دیگر، میدان یک حلقه جابجایی است که اعضای غیر صفر آن تشکیل یک گروه بدهند.

اگر شرط جابجایی را برداریم، به جای میدان، حلقه تقسیم خواهیم داشت.