ریاضیات زیستی

گاهی اوقات در علوم مختلف، با مساله هایی شبیه به مساله ی پرش گربه و ارتباط آن به اندازه اش برخورد می‌کنیم. اگر بخواهیم یک راه حل علمی برای حل آن پیشنهاد کنیم، چه راه هایی به ذهنتان می‌رسد؟ شاید پیشنهادتان، آزمایش کردن باشد. آن وقت به تعداد زیادی گربه احتیاج داریم که بتوانیم آن ها را متوجه کنیم که به شکل معینی، از جای معینی بپرند و دیگراین که همه ی خصوصیات آن ها (یعنی همه پارامترهای مسـاله) یکی باشد، تا ما فقط اثر یک پارامتر (مثلاً طول پای گربه ها) را بررسی کنیم. این کار علاوه بر زحمت زیاد به وقت خیلی زیادی هم احتیاج دارد.

یک بار دیگر به مساله دقت کنید. جواب این مساله یک نمودار یا فرمول دقیق از رابطه ی طول پا و اندازه ی پرش نیست! بلکه به سادگی می‌خواهیم بدانیم، ارتباطی وجود دارد یا نه؟ بله یا خیر؟ پس این راه کمی زیادتر از معمول، علمی و دقیق است. برای حل مساله ای مثل این، راهی به نام "آنالیز ابعادی" وجود دارد که اگر حوصله کنید، زود یاد می‌گیرید.

خوب! فرض کنید گربه ای داریم به طول L و گربه ی دیگری به طول  و می‌دانیم که L بزرگتر از  است. یک گربه برای پرش، از انرژی ذخیره شده در ماهیچه هایش استفاده می‌کند. این انرژی در حرکت پرش، تبدیل به انرژی جنبشی بدن گربه با جهتی گه رو به بالاست، می‌شود.

اگر گربه بتواند تا ارتفاع h بپرد؛ یعنی به میزان mgh انرژی داشته است. اگر ماهیچه‌ها این انرژی را تأمین کنند و با نیروی F به مقدار d تغییر طول بدهند، کار انجام شده توسط آن ها برابر Fd است. (به خاطر دارید که کار یعنی نیرو در جابجایی و کار و انرژی برابر هم هستند) اینجاست که اندازه ی گربه ما وارد می‌شود! گربه ی بزرگ تر، حتماً پاهای بزرگتری دارد. یعنی تغییر طول ماهیچه ی گربه ی بزرگ تر یعنی d بیش تر از گربه کوچک تر یعنی  است:

این یعنی ما فرض می‌کنیم ( یک فرض منطقی) که تغییر طول ماهیچه‌ها به نسبت طول بدن گربه هاست.

اما درباره ی F چه می‌توانیم بگوییم؟ نیروی ماهیچه به سطح مقطع آن ها بستگی دارد. هر چه ماهیچه قطورتر باشد، قوی تر است. برای همین است که مثلا دور بازوی یک قهرمان ورزشی را به عنوان نمادی از نیرویش اندازه می‌گیرند. پس باید نسبت مساحت سطح مقطع ماهیچه ی گربه ی بزرگ (A) به گربه کوچک( ) را به دست بیاوریم. برای این کار از تشابه دو شکل هندسی مثلاً دو دایره کمک می‌گیریم. اگر همه ی ابعاد یک شکل هندسی دو برابر شود، مساحت آن چند برابر خواهد شد؟ اگر دو شکل به یک نسبت بزرگ شوند، نسبت مساحت آن ها چقدر خواهد بود؟

با جواب دادن به این سوال های می‌دانید که داریم:

پس چون (F متناسب است با A)   داریم:

پس حالا انرژی آزاد شده توسط ماهیچه‌ها یعنی E = Fd هم با  متناسب است.

 به خاطر F و L به خاطر d. بهتر است نسبت انرژی گربه‌ها را این طوری بنویسیم:

پس اگر گربه ای 3 برابر یک بچه گربه باشد، انرژی ماهیچه هایش 27 برابر اوست... اما فقط این کافی نیست چون خوب می‌دانیم که گربه ی بزرگ تر وزن بیش تری هم دارد! به نظر می‌رسد روش استدلال را فهمیده باشید؛ حالا باید کشف کنیدکه m یعنی جرم گربه ها،چه ارتباطی به L دارد:

اگر فرض کنیم که چگالی گربه های مختلف با هم برابر است ( که فرض نامربوطی نیست) به این نتیجه می‌رسیم که جرم گربه به حجم آن بستگی دارد. یعنی:

حجم هر گربه ای هم به طول و عرض و ارتفاع آن بستگی دارد. خوب اگر طول گربه ای n برابر گربه دیگر باشد، نمی شود فرض کرد که عرض و ارتفاعش به این نسبت بزرگ تر نیستند چون به گربه هایی بااشکال عجیب می‌رسیم!مثلا گربه های دراز مثل مداد یا عریض مثل بالش! پس با استدلالی شبیه نسبت تشابه در مساحت‌ها به این نتیجه می رسیم که:

خوب! مساله حل شد. چون گربه ی بزرگ تر به همان نسبت که ماهیچه های قوی تری دارد، باید وزن زیادتری را بالا بکشد و در نتیجه ارتفاع پرش هیچ ربطی به اندازه ی گربه ندارد!

به همین راحتی و هیچ آزمایش و دردسری هم لازم نیست! در حقیقت این اثبات، مانند مثال نقضی بود که متوجه شدیم ارتفاع پرش و اندازه ی گربه، کاملاً مستقل از هم هستند!

صفحه اصلی