معادله دیفرانسیل یک معادلهای ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتقهای مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل است. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. کاربردهای معادلات دیفرانسیل همچنین در ریاضیات، بویژه در هندسه و نیز در مهندسی و اقتصاد و بسیاری از زمینه‌های دیگر علوم فراوان‌اند.
معادلات دیفرانسیل در بسیاری پدیده‌های علوم رخ می دهند. هر زمان که یک رابطه بین چند متغیر با مقادیر مختلف در حالت‌ها یا زمان‌های مختلف وجود دارد و نرخ تغییرات متغیرها در زمان‌های مختلف یا حالات مختلف شناخته شده است میتوان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد.
به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم بوسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطه بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را میدهد. در چنین شرایطی می توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیل که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.
متدهای حل معادلات دیفرانسیل بسیار مرتبط با نوع معادله هستند. معادلات دیفرانسیل را به طور کلی به دو دسته می توان تقسیم کرد.
معادلات دیفرانسیل معمولی: در این نوع معادلات تابع جواب دارای تنها یک متغیر مستقل است.
معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای: در این نوع معادلات تابع جواب دارای چندین متغیر مستقل می‌باشد.
هر دو نوع این معادلات را می توان از دیدگاه خطی یا غیر خطی بودن تابع جواب هم دسته بندی کرد.
معادلات دیفرانسیل مشهور
-
قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک)
-
معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک
-
واپاشی هسته‌ای در فیزیک هسته‌ای
-
معادله موج
-
معادلات ماکسول در الکترومغناطیس
-
معادلات پواسن
-
معادله لاپلاس که توابع هارمونیک را تعریف می‌کند
-
مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان.
-
فرمول انیشتین.
-
قانون گرانش نیوتن.
-
معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم
-
معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ها
-
معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط
-
معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی
-
معادله موج برای تار مرتعش.
-
نوسانگر همساز در مکانیک کوانتومی.
-
نظریه پتانسیل.
-
معادله موج برای غشای مرتعش.
-
معادلات شکار و شکارچی.
-
مکانیک غیر خطی.
-
مسئلهٔ مکانیکی آبل.
