جرج برنارد ریمان
در دهم ژوئین 1854 هندسه جدیدی تولد یافت . موقعی که جرج برنارد ریمان سخنرانی معروف خود در دانشگاه گوتینگن آلمان را ارائه کرد، تئوری ابعاد بالاتر معرفی شد . ریمان در اقدامی چشم گیر و ناگهانی مانند گشودن درب اتاقی تاریک و نمناک به روی آفتاب گرم و درخشان تابستان خصوصیات حیرت انگیز فضای فرا ابعادی را به دنیا معرفی کرد . مقاله فوق العاده مهم و استثنایی او با نام « در باب فرضیاتی از اصول هندسه» ستونهای هندسه کلاسیک یونان را که در طول دوهزار سال تمام انتقادهای افراد شکاک را با موفقیت دفع کرده بود در هم فرو ریخت .
با فرو ریختن هندسه قدیمی اقلیدس که در آن تمام اشکال هندسی دو یا سه بعدی هستند، هندسه ریمان از خرابه های آن سر بر افرشت و قرار بود انقلاب ریمان کاربرد های وسیعی در آینده هنر و علوم داشته باشد و ظرف سه دهه از زمان سخنرانی وی تحت عنوان « بعد اسرار آمیز چهارم» تکامل هنر فلسفه و ادبیات اروپا را متاثر سازد . در طول شش دهه بعد انیشتین با استفاده از هندسه چهار بعدی ریمان آفرینش و تکامل جهان را توضیح می دهد . صد و سی سال پس از آن سخنرانی فیزیکدانها در تلاشند تا با استفاده از هندسه ده بعدی اتحاد قوانین جهان فیزیکی را تحقق بخشند . هسته کار ریمان تشخیص این نکته بود که در فضای فرا ابعادی قوانین فیزیکی ساده تر می شوند .
ریمان کسی بود که کمترین انتظار از وی برای هدایت چنین انقلاب عمیق و همه جانبه ای در اندیشه های ریاضی و فیزیک می رفت . او تا حد بیمارگونه ای کمرو بوده و از ناراحتی های عصبی رنج می برد . وی نیز از دو مصیبت که زندگی بسیاری از دانشمندان بزرگ دنیا در طول تاریخ را تباه ساخته، در رنج و عذاب بود : فقر مطلق و بیماری سل . در شخصیت و رفتار او هیچ نشانی از آن شجاعت نفس گیر خلاقیت و اعتماد به نفس قابل تحسین که مشخصه کارهای وی بود مشاهده نمی شد .
ریمان در سال 1826 در هانور آلمان در خانواده ای فقیر بدنیا آمد . وی پسر یک کشیش مذهب لوتر و دومین فرزند از شش فرزند خانواده بود . پدر وی به عنوان یک کشیش روستایی که در جنگهای ناپلئون شرکت داشت سعی فراوان می کرد تا خوراک و پوشاک خانواده پر جمعیتش را فراهم کند . بل در شرح زندگی وی می نویسد : وضعیت نامطلوب سلامتی و مرگ زود هنگام بسیاری از فرزندان ریمان بخاطر سوء تغذیه آنها در دوران کودکی بود و ربطی به بنیه ضعیف آنها نداشت . مادر این خانواده نیز قبل از بزرگ شدن فرزندانش از دنیا رفته بود .
ریمان از همان دوران اولیه کودکی صفات مشخصه خود را بروز داد، توانایی محاسباتی شگرف همراه با ترس ذاتی و کم جراتی همیشگی برای صحبت کردن در حضور دیگران . بچه ها وی را بخاطر کمرو بودن بیش از حدش مورد تمسخر قرار می دادند و این علتی برای پناه بردن بیشتر وی به دنیای کاملا محرمانه ریاضیات می شد . ریمان شدیدا به خانواده خود علاقه داشت و این علاقه وی را وا می داشت تا با به خطر انداختن سلامتی خود و فقری که گریبانگیرشان بود برای والدین و بخصوص خواهران محبوبش هدایایی تهیه کند . وی برای رضایت خاطر پدرش تصمیم گرفت که در رشته الهیات تحصیل کند .
هدف وی این بود که هر چه زودتر بتواند به عنوان یک کشیش در آمدی کسب کرده و به وضعیت مالی خانواده اش سرو سامانی بدهد. ( این تصور که یک جوان کم رو و خجالتی بتواند در مقام یک کشیش موعظه های آتشین و گیرایی در مورد گناهان و دوری از شیطان ارائه کند دشوار می نماید...) .
ریمان در دوران دبیرستان به مطالعه عمیق انجیل می پرداخت، هر چند افکارش همیشه متوجه ریاضیات بود . وی حتی سعی نمود که برای اثبات صحت انجیل پیدایش دلایل ریاضی ارائه دهد . ریمان در آموختن دروس تا آن اندازه سریع بود که خیلی زود از معلمین خود پیشی گرفت و آنها فهمیدند که همگام با وی جلو رفتن کاری غیر ممکن است . سر انجام مدیر مدرسه کتاب دشواری در اختیار او قرار داد تا او را به خود مشغول سازد . این کتاب حجیم 859 صفحه ای تئوری اعداد نوشته آدریان ماری لژاندر بود، اثری شاهکار و پیشرفته ترین رساله دنیا در مورد موضوع مشکل تئوری اعداد. ریمان این کتاب را با اشتیاق تمام ظرف 6 روز مطالعه کرد . زمانیکه مدیر مدرسه از او پرسید : چند صفحه از کتاب را مطالعه کرده ای ؟ ریمان جواب داد این کتاب واقعا شگفت انگیز است . من به موضوعات آن مسلط شده ام چند ماه بعد مدیر مدرسه که هنوز ادعاهای پسرک را باور نکرده بود چند سئوال دشوار از کتاب نمود که ریمان به همه آنها بطور کامل جواب داد .
با توجه به وضعیت نامطلوب مالی خانواده، پدر ریمان می توانست او را به کارهای طاقت فرسا بگمارد ولی وی در عوض تمام تلاش خود را بکار برد تا فرزند 19 ساله اش را به دانشگاه معروف گوتینگن بفرستد، جایی که ریمان برای اولین بار کارل فردیش گائوس «سلطان ریاضیدانان» یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران تاریخ را ملاقات نمود . حتی اگر امروز هم شما از هر ریاضیدانی بخواهید تا سه نفر از معروفترین ریاضیدانان در طول تاریخ را نام ببرد بی شک نام ارشمیدس، ایزاک نیوتن و کارل گائوس را خواهد برد . با این وجود زندگی ریمان مجموعه ای بی پایان از مصائب و گرفتاریهایی بود که تنها با تلاش زیاد و به مخاطره انداختن سلامتی آسیب پذیرش قابل تحمل بود . به دنبال هر موفقیتی شکست و تراژدی نهفته بود . مثلا درست موقعی که بخت به او روی آورد و مطالعات رسمی اش را تحت نظر گائوس شروع کرد آلمان تحت تاثیر یک انقلاب تمام عیار واقع شد . طبقه کارگر که مدتها تحت شرایط غیر انسانی زندگی میکرد بپا خاست و کارگران شهرهای زیادی در سراسر آلمان اسلحه به دست گرفتند . تظاهرات و شورشهای اوایل 1848 الهام بخش نوشته های یک فرد آلمانی دیگر به نام کارل مارکس گردید که برای پنجاه سال بعد جریان جنبشهای انقلابی را در سرتاسر اروپا بطور عمیقی تحت تاثیر قرار داد .
با در گیر شدن آلمان در اغتشاش و آشوبهای سراسری مطالعات ریمان متوقف شد . وی رسما به مقامی در گروههای دانشجویی منصوب شد و به این افتخار شک برانگیز نایل شد که شانزده ساعت طاقت فرسا و نفس گیر را صرف حفاظت از کسی بکند که حتی از خود وی نیز بیشتر ترسیده بود (پادشاه که از ترس خشم طبقه کارگر در کاخ سلطنتی خود در برلین پنهان شده و بر خود می لرزید) .
طوفان انقلابی نه تنها در آلمان بلکه در ریاضیات نیز وزیدن گرفته بودند . مسئله ای که توجه ریمان را به خود جلب کرده بود فروپاشی هندسه اقلیدسی یکی دیگر از ستونهای استوار ریاضیات بود که بیانگر سه بعدی بودن فضاست . علاوه بر این فضای سه بعدی یاد شده «تخت» می باشد ( در فضای تخت کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یک خط راست است و این موضوع امکان انحنادار بودن فضا مانند سطح یک کره را منتفی میکند ) . در واقع کتاب اصول اقلیدس احتمالا بعد از انجیل تاثیر گذار ترین کتاب تاریخ بود . پویا ترین مغزهای تمدن غرب برای دو هزار سال در برابر زیبایی و سحر کلام هندسه این کتاب در تحیر بوده اند . بر پایه این اصول هزاران کلیسای عالی بنا نهاده شدند . در نگاهی به گذشته این هندسه شاید بیش از حد موفق بود و در طول قرون جایگاهی همچون یک مذهب پیدا کرده بود . هر کسی که جرات به خرج داده و فضای انحنادار یا ابعاد بالاتر را مطرح می کرد مورد تکفیر قرار می گرفت . برای نسلهای متمادی دانش آموزان با اصول هندسه اقلیدسی کلنجار رفته اند : اینکه محیط یک دایره برابر حاصل ضرب قطر آن در عدد پی است و مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است .
ولی ریاضیدانان بزرگ در طول قرنها علیرغم تلاشهایشان موفق به اثبات این قضایای ساده و اغواکننده نشدند . در واقع ریاضیدانان اروپا بتدریج دریافتند که حتی کتاب اصول اقلیدس که 2300 سال مورد تکریم بود کتاب ناقصی است . با محدود کردن خود به سطوح تخت میتوان از هندسه اقلیدسی دفاع کرد اما اگر وارد دنیای سطوح انحنا دار شویم این هندسه عملا غلط از آب در می آید . از نظر ریمان هندسه اقلیدسی بخصوص در مقایسه با دنیا و تنوع غنی آن فاقد خلاقیت و نوزایی بود . شکلهای هندسی مسطح و ایده آل اقلیدسی را در هیچ جای طبیعت نمی توان مشاهده کرد . رشته کوهها، امواج اقیانوسها ،ابرها، گردابها، شکلهای دایره های مثلثی و مربعی کامل نیستند بلکه اشیاء منحنی هستند که به روشهای بی شماری خمیده و پیچیده شده اند . زمان انقلاب فرا رسیده بود اما چه کسی هدایت آن را در دست می گرفت و چه چیزی میتوانست جایگزین هندسه قدیمی گردد .
ریمان در برابر هندسه یونانی با دقت ریاضی ظاهری ، قد علم کرد ، هندسه ای که بنا به دریافت ریمان اصول آن در نهایت بر اساس بنیان های لرزان فهم عامه و باورهای فطری استوار بود ، نه یک زمینه مستحکم منطقی ، به گفته اقلیدس ، بدیهی است که نقطه هیچ بعدی ندارد و خط دارای یک بعد است : طول ، صفحه دو بعد دارد : طول و عرض ، یک جسم جامد سه بعد دارد : طول و عرض و ارتفاع و این هندسه در همین جا متوقف میشود. هیچ چیز دارای چهار بعد نیست . این دریافت ها توسط ارسطوی فیلسوف نیز بازتاب داده میشد که ظاهرا اولین کسی بود که قاطعانه بیان کرد بعد چهارم فضایی ، ناممکن میباشد . وی در کتابش به نام " در مورد آسمان " نوشت : "خط در یک سو دارای اندازه است ، صفحه در دو سو و جسم جامد در سه سو و فراتر از اینها هیچ سویی وجود ندارد . چرا که فقط سه سو وجود دارند" .
صد و پنجاه سال پس از میلاد مسیح ، یک ستاره شناس اهل اسکندریه به نام "بطلمیوس" پا را فراتر نهاده و در کتاب خود تحت عنوان "در مورد فاصله" اولین دلیل مبتکرانه مبنی بر غیر ممکن بودن بعد چهارم را ارائه کرد . وی استدلال خود را چنین بیان میکرد که ابتدا سه خط رسم کنید که دو به دو بر هم عمود باشند . برای مثال گوشه یک مکعب شامل سه خط دو به دو عمود بر هم است . آنگاه سعی کنید که خط چهارمی عمود بر این سه خط رسم کنید . هر چقدر که سعی کنی ، نمیتوانید این چهار خط دو به دو عمود بر هم را ترسیم کنید . بطلمیوس ادعا کرد که خط عمود چهارم کاملا بدون اندازه و بدون تعریف میباشد . آنچه را که بطلمیوس اثبات کرد ، در واقع این بود که با ذهن های سه بعدی ما تصور بعد چهارم ممکن نیست . (در واقع امروزه ما میدانیم که در ریاضیات موضوعات زیادی وجود دارد که غیر قابل تصور هستند ، ولی میتوان نشان داد که وجود دارد). شاید بتوان از بطلمیوس به عنوان شخصیتی در تاریخ نام برد که در مقابل دو ایده عظیم به مخالفت برخاست : منظومه شمسی با مرکزیت خورشید و بعد چهارم . در واقع ، در طول قرون ، برخی ریاضیدانها به خاطر مخالفت با بعد چهارم از مسیر خود منحرف شدند .
در سال 1685 ، ریاضیدانی به نام "جان والیس" علیه این مفهوم به بحث و جدل پرداخت و آن را "اژدهای طبیعت که احتمال وجودش کمتر از کیمرا (جانوری که در افسانه های یونان سر شیر ، بدن ببر و دم مار بوده است ) یا سنتر (جانوری در افسانه های یونان که دارای سر و دست انسان و بدن اسب بوده است) است نام برد ... طول ، عرض و ضخامت همه فضا را پر میکنند . ذهن بشر نمیتواند تصور هم بکند که چطور بعد چهارم مکانی ممکن است فراسوی این سه بعد وجود داشته باشد . "
برای هزاران سال ریاضیدانها دائما مرتکب این اشتباه ساده ولی اساسی میشدند که بعد چهارم نمیتواند وجود داشته باشد ، برای این که نمیتوانیم تصویری از آن را در ذهن خود داشته باشیم .
شکاف عمیق ، موقعی در هندسه اقلیدسی حاصل آمد که گاوس از شاگردش ریمان ، در خواست کرد تا یک سخنرانی در مورد " بنیاد هندسه " ارائه دهد . گاوس خیلی علاقه مند بود تا ببیند آیا شاگردش می تواند در توسعه یک مدل جایگزین برای هندسه اقلیدسی موفق باشد یا نه ؟ (چند دهه قبل از آن ، گاوس بطور شخصی ، مطالعات عمیق و وسیعی در باب هندسه اقلیدسی انجام داده بود . وی حتی با همکارانش در مورد " کرم کتاب " هایی فرضی که می توانند در یک سطح کاملا دو بعدی زندگی کنند ، صحبت کرده بود . وی در مورد این ایده به هندسه فضای فرا ابعادی نیز صحبت کرده بود . بهر حال ، از آنجائیکه گاوس شخصیت محافظه کارانه ای داشت ، هیچ یک از کارهای خود را در مورد ابعاد بالاتر انتشار نداد زیرا احتمال ایجاد سرو صدا و اعتراض از طرف افراد کج اندیش و محافظه کار و متعصب می رفت . وی به تمسخر ، چنین افرادی را " بیوتین " می نامید که یک قبیله عقب مانده ذهنی یونانی بودند) .
با این همه ، ریمان در هراس بود . با داشتن شخصیتی ترسو و حتی بیم صحبت کردن در مقابل مردم ، قرار بود به درخواست استادش ، برای تمام دانشکده ، در مورد مشکلترین مسئله ریاضیات قرن ، سخنانی ایراد کند .
در طول ماهها بعد ، ریمان با رنج و مشقت شروع به تعمیم تئوری فرا ابعادی نمود و در این راه تا به خطر افتادن سلامتی خود و ناراحتی اعصاب پیش رفت . بخاطر وضعیت مالی رقت انگیزش ، بنیه جسمی وی نیز در معرض خطر قرار گرفت . او مجبور بود که به شغلهای کم در آمدی مانند معلمی سر خانه بپردازد تا کمکی نیز به خانواده اش بکند . گذشته از اینها ، بخاطر تلاش در توضیح مسائل فیزیک ، از مسیر کاری خودش منحرف می شد . بخصوص اینکه وی به یک پروفسور دیگر بنام " ویلهلم وبر " در انجام آزمایشاتی در زمینه تحقیقاتی تازه و جذاب الکتریسیته کمک می کرد .
البته مردمان باستان نیز با الکتریسیته ، به شکل رعد و برق و جرقه آشنایی داشتند . ولی این پدیده در اوایل قرن نوزدهم کانون توجه تحقیقات فیزیکی واقع شد . بویژه ، کشف این موضوع که عبور جریان الکتریسیته از یک سیم ، باعث چرخیدن عقربه قطب نمایی که در نزدیکی سیم واقع شده می گردد ، توجه مجامع علمی فیزیک را به خود معطوف نمود . در حالت معکوس ، حرکت یک آهنربا از روی یک سیم می تواند جریان الکتریکی در آن القاء کند . ( این پدیده قانون فاراده نامیده می شود و امروز ، تمام مولدهای برق و ترانسفور ماتورها – و بنا بر این بخش عظیمی از پایه های تکنولوژی مدرن – بر روی این اصل بنا نهاده شده اند ) . برای ریمان ، این پدیده بیانگر آن بود که الکتریسیته و مغناطیس ، به طریقی شکلهای مختلف یک نیرو می باشند . ریمان از این کشف جدید به شعف آمده و متقاعد گشته بود که قادر به ارائه توضیحی ریاضی برای اتحاد الکتریسیته و مغناطیس می باشد . با ایمان به اینکه ریاضیات جدید ، منجر به درک همه جانبه ای از این نیروها خواهد شد ، ریمان تمام وقت خود را وقف آزمایشگاه وبر ساخته بود . بخاطر قبول مسئولیت آماده کردن یک سخنرانی دقیق و موشکافانه در مورد " بنیاد هندسه " برای تامین خانواده خود و نیز انجام دادن آزمایشات علمی ، در نهایت سلامتی ریمان به خطر افتاد و در سال 1854 دچار اختلال عصبی گردید . وی بعدا ، ضمن نامه ای به پدرش نوشت ، « من بقدری در تحقیقات خودم در باره اتحاد تمام قوانین فیزیکی غرق شده بودم که وقتی موضوع سخنرانی امتحانی به من داده شد ، نمی توانستم خودم را از تحقیقاتم کنار بکشم . لذا بخاطر کار فکری زیاد در این مورد و نیز بخاطر ماندن در فضای سنگین آزمایشگاه ، مریض شدم » .
این نامه ، از این نظر حائز اهمیت است که نشان می دهد حتی در طول ماههای بیماری ، ریمان کاملا بر این عقیده بود که می تواند " اتحاد تمام قوانین فیزیکی " را کشف کرده و در نهایت ، ریاضیات مسیر لازم برای رسیدن به این اتحاد را هموار خواهد ساخت .
سر انجام ریمان ، علی رغم بیماریهای مکرر خود ، تصویر تازه و تکان دهنده ای از مفهوم " نیرو " ارائه نمود . از زمان نیوتن ، دانشمندان نیرو را به عنوان عامل اندرکنش لحظه ای بین دو جسم دور از هم در نظر می گرفتند . این موضوع را فیزیکدانها ، کنش از فاصله نام گذاری کردند ، بدین معنی که یک جسم می تواند حرکت اجسام دورتر را به طور آنی تحت تاثیر قرار دهد . مکانیک نیوتنی ، بدون شک می توانست حرکت سیاره ها را توصیف کند ولی در طول قرون ، منتقدین در مورد غیر طبیعی بودن موضوع کنش از فاصله بحث می کردند ، اینکه یک جسم بتواند جهت حرکت جسم دیگر را بدون اینکه حتی تماسی با آن داشته باشد ، تغییر دهد .
ریمان ، تصویر فیزیکی جدید و کاملا" متفاوتی را ارائه نمود . مانند ( کرم های کتاب ) گاوس ، وی گونه ای از موجودات دو بعدی را که بر روی یک صفحه کاغذ زندگی می کنند ، در نظر گرفت . ولی راه حل مهم ریمان این بود که موجودات را بر روی یک صفحه کاغذ " مچاله شده " در نظر گرفت . این موجودات چه تصوری از دنیای اطراف خود داشتند ؟ دریافت ریمان این بود که از نظر آنها ، دنیایشان کاملا تخت می نماید . بخاطر اینکه بدنهای آنها با صفحه کاغذ مچاله شده بودند ، هر گز متوجه انحنای دنیای خود نمی شدند. با این وجود ، ریمان عقیده داشت که اگر این موجودات سعی در حرکت روی این صفحه کاغذ مچاله شده بکنند ،" نیروی نامرئی " و اسرار آمیزی را احساس میکنند که مانع از حرکت آنها در یک خط مستقیم می شود . هر دفعه که این موجودات از روی چین و چروکهای صفحه حرکت می کردند ، بدنهایشان به چپ و راست فشار داده می شد . بدین ترتیب ، با رد کردن اصل کنش از فاصله ، ریمان بعد از 200 سال ، اولین تکان اساسی را به فیزیک نیوتنی وارد نمود . از نظر ریمان ، " نیرو نتیجه ای از هندسه است " در ادامه ، ریمان بجای صفحه کاغذ دو بعدی ، جهان سه بعدی ما را در بعد چهارم پیچیده شده ، جایگزین کرد . در هم پیچیدگی جهان برای ما روشن و واضح نیست . با اینهمه ، اگر ما سعی می کردیم تا در یک خط راست حرکت کنیم ، بلافاصله متوجه می شدیم که این کار ما یک ایرادی دارد . ما مانند آدمهای مست ، تلو تلو می خوردیم گویی که نیرویی نامریی ما را به چپ و راست هل می دهد . ریمان به این نتیجه رسید که الکتریسیته ، مغناطیس و گرانش ناشی از درهم مچاله شدن جهان سه بعدی ما در بعد نامرئی چهارم می باشد . بنابر این " نیرو " موجودیت مستقلی ندارد بلکه فقط اثری ظاهری است که بخاطر تغییر شکل هندسی ایجاد میشود .
ریمان با معرفی بعد چهارم مکانی ، بطور اتفاقی با یکی از موضوعات اصلی فیزیک نظری مدرن مواجه شد ، اینکه وقتی طبیعت در فضای با ابعاد بالاتر بیان شوند ، ساده تر بنظر می رسند . وی سپس سعی در ایجاد یک زبان ریاضی داشت که بوسیله آن ، بتواند این عقیده را توضیح دهد.
چند ماه طول کشید تا ریمان توانست از ناراحتی عصبی خود ، خلاصی یابد . در نهایت ، وقتی که سخنرانی خود را در سال 1854 ارائه نمود ، مورد استقبال گسترده ای قرار گرفت . با نگاهی به گذشته ، معلوم میشود که سخنرانی وی ، بدون شک یکی از مهمترین سخنرانی های عمومی در تاریخ ریاضیات بود . به زودی در سراسر اروپا شایع گشت که ریمان مشخصا پا را فراتر از هندسه اقلیدسی نهاده است ، هندسه ای که در طول دو هزار سال گذشته ، حاکم بود . خبرهای مربوط به سخنرانی در تمام مراکز آموزشی اروپا پخش شد و در مجامع آکادمیک ، از سهم عمده ریمان در پیشبرد ریاضیات ستایش و قدردانی به عمل آمد . مطالب وی به چندین زبان ترجمه شد و تکانی در ریاضیات ایجاد کرد . استناد به هندسه اقلیدس اهمیت قبلی خود را از دست داده بود .
مانند بیشتر کارهای برجسته در فیزیک و ریاضیات ، درک هسته اصلی مقاله مهم ریمان ، کار مشکلی نیست . ریمان ، کار خود را با قضیه معروف فیثاغورث ، یکی از کشف های مهم یونانی ها در ریاضیات ، شروع کرد . این قضیه رابطه ای بین طول سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه ایجاد کرده و بیان میدارد که مجموع مربعات اضلاع کوچکتر برابر با مربع ضلع بزرگتر ، یعنی وتر میباشد . به عبارتی دیگر ، اگر b , a طول دو ضلع کوتاهتر و c طول وتر باشد ، در این صورت (البته قضیه فیثاغورث ، اساس تمام کارهای معماری است . هر بنایی که در این سیاره ساخته میشود ، بر روی این قضیه استوار است). این قضیه ، برای فضای سه بعدی هم به راحتی قابل تعمیم است . به این بیان که مجموع مربعات سه ضلع مجاور به هم در یک مکعب برابر با مربع قطر مکعب است . لذا اگر a ، b وc نشانگر یالهای مکعب و d معرف طول قطر مکعب باشد ، در این صورت:
a2+b2+c2=d2
حال به سادگی میتوان این قضیه را به فضای N بعدی تعمیم داد . فرض کنید در یک مکعب N بعدی ، a ، b ، c و ... طول یالهای این " ابر مکعب" بوده و z طول قطر آن باشد. در این صورت :
a2+b2+c2+....=z2
موضوع قابل توجه این است که با وجود ناتوانی ذهن ما برای تصور این مکعب N بعدی ، نوشتن فرمولی برای اضلاع آن ، ساده میباشد . (این یک خصوصیت متداول در کار با ابر فضا است . از نظر ریاضی ، سر و کار داشتن با فضای N بعدی مشکل تر از سر و کار داشتن با فضای سه بعدی نیست . تعجب آور نیست که بتوان بر روی یک صفحه کاغذ ، خواص جسمی با ابعاد بالاتر را که توسط ذهن های ما قابل تصور نیستن ، به طور ریاضی توصیف کرد). در ادامه کار ، ریمان این معادلات را برای فضای های با ابعاد اختیاری تعمیم داد . این فضا ها یا تخت هستند یا انحنا دار . اگر فضا تخت باشد ، در این صورت اصول موضوعی رایج اقلیدس کاربرد دارد : کوتاهترین فاصله بین دو نقطه یک خط مستقیم است، یک صفحه دارای انحنای صفر میباشد . در هندسه اقلیدسی زوایای داخلی یک مثلث برابر 180 درجه میباشد و خطوط موازی هرگز همدیگر را قطع نمیکنند .
در هندسه نا اقلیدسی ، یک کره دارای انحنای مثبت میباشد، مجموع زوایای داخلی مثلث بیشتر از 180 درجه بوده و خطوط موازی همیشه یکدیگر را قطع میکنند (خطوط موازی شامل کمانهایی هستند که مرکز آنها با مرکز کره یکی است )، یک سطح به شکل زین دارای انحنای منفی است ،مجموع زوایای داخلی کمتر از 180 درجه است، بی نهایت خطوط موازی با یک خط مفروض وجود دارند که از یک نقطه ثابت عبور میکنند .
هدف ریمان معرفی روشی تازه در ریاضیات بود که وی را قادر به توصیف تمام سطوح ، صرفنظر از میزان انحنای آنها بکند . این امر ریمان را بطور غیر قابل اجتنابی به مطرح کردن دو باره مفهوم میدان فاراده سوق داد . همانطور که گفته شد ، میدان فاراده یک ناحیه از فضای سه بعدی را اشغال می کند که می توان به هر نقطه ای از آن فضا ، مجموعه ای از اعداد را که توصیف کننده نیروی مغناطیسی یا الکتریکی آن موقعیت می باشند ، نسبت دهیم . ایده ریمان ، معرفی مجموعه ای از اعداد در هر نقطه ای از فضای بود که بتوانند مقدار انحنا یا تاب آن فضا را توصیف کنند .
برای مثال ، در یک صفحه دو بعدی معمولی ، ریمان یک مجموعه سه عددی را برای هر نقطه نسبت داد که توصیف کننده کامل مقدار خم در آن نقطه بود . وی متوجه شد که در فضای چهار بعدی فضایی ، برای هر نقطه ، نیاز به مجموعه ای ده عددی برای توصیف خواص آن می باشد . صرفنظر از میزان مچاله شدگی یا پیچش فضا ، این مجموعه ده عددی در هر نقطه ، برای مشخص کردن اطلاعات لازم در باره آن فضا کافی است . اجازه دهید این ده عدد را با علائم g11,g12,g13,... نشان دهیم ( در تحلیل یک فضای چهار بعدی ، اندیس پایین می تواند از یک تا چهار تغییر کند). در اینصورت مجموعه ده عددی ریمان را می توان با یک آرایش متقارن ، آرایش داد .
g11 g12 g13 g14
g21 g22 g23 g24
g31 g32 g33 g34
g41 g42 g43 g44
( بنظر می رسد که اینجا با 16 مولفه سر و کار داریم ، ولی g12=g21 و g13=g31 و غیره. بنابر این در واقع فقط ده مولفه مستقل از هم وجود دارند ) . امروزه ، به این مجموعه اعداد " تانسور متریک " ریمان گفته می شود . در حالت کلی هر چه اندازه تانسور متریک بزرگتر باشد ، مچاله شدگی صفحه نیز بیشتر خواهد بود . تانسور متریک به ما ابزاری جهت اندازه گیری مقدار انحنای صفحه در نقطه ، بدون توجه به میزان مچاله شدگی آن ارائه می دهد . اگر این صفحه مچاله شده را کاملا صاف کنیم ،دراین صورت به فرمول فیثاغورث می رسیم . ریمان توسط تانسور متریک خود ، توانست یک ابزار قوی برای توصیف فضاهایی با ابعاد دلخواه ، و با هر انحنایی را بنا نهد .
ریمان با تعجب دریافت که تمام این فضا ها ، خوش تعریف و خود سازگار هستند . قبلا گمان میرفت که در صورت تحقیق در مورد دنیای ممنوعه ابعاد بالا تر ، تضاد های بسیار زیادی بروز خواهند نمود ، با این وجود ریمان بر خلاف انتظارش هیچ گونه تضادی مشاهده ننمود . در حقیقت تعمیم موضوع به فضای N بعدی برای ریمان ، موضوع ساده ای مینمود . در این حالت ، تانسور متریک مشابه خانه های یک صفحه شطرنجی N*N خواهند بود . وقتی که ما اتحاد تمام نیروها را مورد بحث قرار دهیم ، این موضوع کاربرد های فیزیکی خیلی زیادی پیدا خواهد نمود .
(خواهیم دید که رمز اتحاد ، بسط دادن تانسور متریک ریمان به فضای N بعدی و سپس تجزیه کردن آن به اجزای مستطیلی است . هر قسمت مستطیلی ، متناظر با یک نیروی متفاوت است . با این ترتیب میتوانیم نیروهای مختلف طبیعت را با مرتب کردن آنها در تانسور متریک ، مانند قطعات یک پازل ، توصیف کنیم . این موضوع بیان ریاضی اصلی است که نشان میدهد فضای فرا ابعادی ، قوانین طبیعت را یکی میکند ، این که " فضای کافی" برای اتحاد آنها در فضای N بعدی موجود است . به عبارت دقیقتر ، در متریک ریمان ،" فضای کافی " برای اتحاد نیروهای طبیعت وجود دارد . )
ریمان پیشرفت دیگری در فیزیک را پیش بینی کرد . وی یکی از اولین افرادی بود که " فضا های هم بند چندگانه" – کرم چاله ها – را مورد بررسی قرار داد . برای تصور این مفهوم ، دو صفحه کاغذ برداشته و یکی از آنها را روی صفحه دیگر بگذارید . حال با قیچی برشی کوچک بر روی هر یک از صفحات ایجاد کنید . سپس درامتداد این دو برش ، صفحات را به هم بچسبانید (از نظر توپولوژی – مکان شناسی : علم بررسی خواصی از فضا ها که با کشیدن یا فشردن تغییرنمیکند -- طول کرم چاله ، صفر در نظر گرفته شده است) .
اگر یک حشره که در صفحه بالایی زندگی میکند ، روزی بر حسب اتفاق به داخل شکاف برود ، خودش را در صفحه پایین خواهد یافت . در این صورت ، این حشره سر در گم خواهد شد زیرا هیچ چیز در جای صحیح خود قرار ندارد . بعد از مدتی سعی و تلاش ، متوجه خواهد شد که میتواند با ورود دوباره به برش ایجاد شده بار دیگر در دنیای معمول خود ظاهر شود . این حشره ، تا زمانی که دور از شکاف حرکت کند ، دنیایش عادی به نظر میرسد ، ولی اگر سعی در حرکت میانبر از طریق شکاف بکند ، با مشکل مواجه خواهد شد . برش های ریمان ، یک مثال از کرم چاله میباشند که دو فضا را به هم وصل میکند ( با این تفاوت که د ر این حالت طول کرم چاله صفر میباشد .) برش های ریمان به طور موثر تری توسط ریاضیدانی به نام لویس کارل در کتابش تحت عنوان " از میان آینه " مورد استفاده واقع شد . برش ریمان ، که انگلستان را با یک سرزمین عجایب ارتباط میدهد یک آینه است .
امروزه برش های ریمان به دو صورت باقی مانده اند ، در شکل اول این که ، در طول هر دوره کارشناسی ارشد ریاضی در دنیا ، زمانی مطرح میشوند که کاربرد آنها در تئوری " الکترو استاتیک یا نگاشت همدیس " بحث میشود . و در شکل دوم برش های ریمان را در بخش هایی از فیلم " ناحیه گرگ و میش " میتوان پیدا کرد . ( باید تاکید نمود که خود ریمان ، این برش ها را به عنوان ابزاری جهت امکان مسافرت بین جهان ها ، تصور نمی کرد) .
حضور ریمان در فیزیک به خاطر کارهایش همچنان ادامه داشت . حتی وی در سال 1858 اعلام کرد که سر انجام موفق شده است به بیان واحدی از نور و الکتریسیته دست پیدا کند . وی نوشت که " من کاملا متقاعد شده ام که تئوری ام تئوری درستی است ، و در عرض چند سال آینده ، این موضوع روشن خواهد شد . " با اینکه تانسور متریک ، روش موثری برای توصیف هر فضای انحنا یافته در هر بعدی را در اختیار ریمان قرار می داد ، ولی وی معادلات دقیقی را که تانسور متریک از آنها تبعیت بکند نمی دانست ، یعنی از این موضوع که چه چیزی باعث مچاله شدن کاغذ می شود اطلاع نداشت . متاسفانه تلاشهای ریمان برای حل مسئله ، بخاطر فقر وحشتناکی که گرفتارش بود ، به نتیجه ای روشن نمی رسید . موفقیتهای ریمان برایش پولی به ارمغان نمی آورد . در سال 1858 وی دچار اختلال عصبی دیگری شد . بعد از سالیان طولانی ، وی به مقام گائوس در گوتینگن منصوب شد که افراد زیادی در حسرت آن بودند . ولی دیگر خیلی دیر شده بود . یک عمر زندگی فقیرانه ، وی را در هم شکسته بود . مانند بسیاری از بزرگترین ریاضیدانان در طول تاریخ ، وی نیز در سن 39 سالکی قبل از اینکه موفق به تکمیل تئوری هندسی گرانشی و الکتریستیه و مغناطیس شود ، از دنیا رفت .
بطور خلاصه ، ریمان پا را فراتر از بنیان نهادن ریاضیات ابر فضا ، گذاشت . در نگاهی به گذشته ، متوجه میشویم که ریمان برخی از موضوعات اصلی در فیزیک مدرن را نیز پیش بینی نموده بود . خصوصا" موارد زیر را :
1- وی فضای فرا ابعادی را برای ساده سازی قوانین طبیعت بکار برد . بنظر وی الکتریسیته و مغناطیس و نیز گرانش تنها تاثیراتی از مچاله شدن و در هم پیچیدگی فضای فرا ابعادی می باشند .
2- وی مفهوم کرم چاله ها را پیش بینی نمود . برشهای ریمان ، ساده ترین مثالها از فضاهای همبند چند گانه هستند .
3- ریمان ، گرانش را به عنوان یک میدان بیان نمود . تانسور متریک ، به دلیل آنکه نیروی گرانشی را ( بواسطه انحنا ) در هر نقطه ای از فضا توصیف می کند . موقعی که به گرانش اعمال می شود ، دقیقا مفهوم میدان فاراده را دارا می باشد .
ریمان نمی توانست کار خود بر روی میدانهای نیرو را کامل کند ، زیرا وی به معادلاتی که الکتریسته ، مغناطیس و گرانش از آنها تبعیت می کند ، دسترسی نداشت . بعبارت دیگر نمی دانست که جهان دقیقا چگونه مچاله شده و نیروی گرانش را تولید می کند . وی کوشید تا معادلات مربوط به میدان الکتریسیته و مغناطیس را کشف کند . ولی قبل از اینکه موفق به اتمام پروژه اش شود ، دار فانی را وداع گفت . تا زمان مرگش ، وی هنوز هیچ راهی برای محاسبه اینکه چه مقدار مچاله شدگی برای توصیف نیروها لازم است ، پیدا نکرده بود . پیشرفتهای عظیم در این زمینه ، به ماکسول و انیشتین واگذار شده بود .
سر انجام طلسم شکسته بود . ریمان در طول زندگی کوتاه خود ، طلسمی را که بیش از دو هزار سال قبل توسط اقلیدس ایجاد شده بود، شکست . تانسور متریک ریمان سلاحی بود که ریاضیدان های جوان با آن در مقابل بوتیانها که در برابر هر نوع اظهار عقیده در مورد ابعاد بالاتر به مخالفت بر می خواستند ، ایستاد . کسانی که از آراء ریمان تبعیت می کردند ، متوجه شدند که راه خوبی برای صحبت از دنیا های نامرئی پیدا کرده اند . بزودی نتایج تحقیقات در سراسر اروپا به بار نشست . دانشمندان بر جسته ، شروع به عامه فهم کردن این ایده برای مردم عادی نمودند . هرمان فون هلمهولتز که شاید معروفترین فیزیکدان آلمانی نسل خویش بود و عمیقا تحت تاثیر کارهای ریمان قرار گرفته بود ، درباره ریاضیات حاکم بر دنیای موجودات هوشمندی که بر روی یک کره یا توپ زندگی میکردند ، سخنان زیادی برای عموم مردم ایراد نمود و یا به رشته تحریر در آورد . بر طبق نظر هلمهولتز ، این موجودات با قدرت استدلالی مشابه ما انسانها ، بطور مستقل کشف می کردند که تمام فرضیات و قضایای اقلیدس بی فایده اند . برای مثال ، بر روی کره ، مجموع زوایای داخلی یک مثلث ، 180 درجه نمی شود . " کرم کتاب " که گاوس قبلا برای اولین بار در مورد آنها سخن گفته بود ، حال خود را ساکنین کره های دو بعدی هلمهولتز می یافتند .
هلمهولتز نوشت : " اصول موضوعی هندسه باید متناسب با نوع فضایی تغییر کنند که در آن موجوداتی با قدرت استدلال شبیه ما انسانها ، زندگی می کنند. وی در کتاب خود تحت عنوان سخنرانیهای مشهور در باره موضوعات علمی (1881) به خوانندگانش گوشزد نمود که تصور بعد چهارم برای ما امکانپذیر نیست . در واقع ، او بیان داشت که " چنین " تصویری " برای ما ، همانقدر غیر ممکن است که تصور رنگها برای کسی که نابینا بدنیا آمده است ".
برخی از دانشمندان که مبهوت زیبایی کار ریمان شده بودند ، تلاش کردند تا برای چنین ابزار قوی ، کاربردهای فیزیکی پیدا کنند . در حالیکه بعضی از دانشمندان کاربردهای بعد بالاتر را کشف میکردند ، بقیه دانشمندان به مسایل عملی و ملموستری مانند نحوه غذا خوردن یک موجود دو بعدی می پرداختند . برای اینکه موجودات دو بعدی گاوس بتوانند غذا بخورند ، دهانشان باید معطوف به یک جهت باشد . حال اگر لوله گوارشی این موجودات را رسم کنیم ، متوجه می شویم که این مسیر ، بدن آنها را کاملا به دو قسمت تقسیم می کند . بنابر این در صورتیکه غذا بخورند ، بدنشان به دو تکه مجزا تقسیم می شود . در واقع ، هر لوله ای که دو روزنه بدنشان را به هم متصل می سازد ،آنها را به دو تکه مجزا تقسیم میکند . این امر ، ما را با یک انتخاب دشوار مواجه می سازد . یا اینکه این مردم مانند ما انسانها غذا می خورند و لذا بدنشان از هم جدا می شود و یا اینکه از قوانین زیست شناسی متفاوتی تبعیت میکنند .
متاسفانه ریاضیات پیشرفته ریمان از سطح درک فیزیک قرن نوزدهم ، خیلی جلو افتاده بود . هیچ اصل فیزیکی برای جهت دادن به تحقیقات بیشتر وجود نداشت . مجبور بودیم تا یک قرن صبر کنیم تا فیزیکدانها هم سطح ریاضیدانها بشوند. اما این موضوع مانع از آن نشد که دانشمندان قرن نوزدهم به حدسیات بی پایان در مورد شکل موجودات چهار بعدی نپردازند . بزودی ، آنها دریافتند که چنین موجودات چهار بعدی تقریبا نیروهای خداگونه خوهند داشت .
در نگاهی به گذشته در می یابیم که سخنرانی مشهور ریمان بوسیله متصوفین، فیلسوفان و هنرمندان در بین عموم مردم پخش شد ، هر چند به درک بیشتر ما از طبیعت کمک زیادی نمی کرد. از دیدگاه فیزیک نوین ، همچنین می توانیم ببینیم که چرا بین سالهای 1860 تا 1905 در درکمان از ابر فضا گشایشی بوجود نیامده است .
اولا تلاشی صورت نگرفت تا با استفاده از ابعاد بالاتر ، قوانین طبیعت ساده تر شوند . بدون اصل راهگشا و بنیادین ریمان – که قوانین طبیعت در ابعاد بالاتر ساده می شوند – دانشمندان در این مدت ، تنها در تاریکی به لمس موضوع می پرداختند . اندیشه پر بار ریمان در مورد استفاده از هندسه – یعنی ابر فضای مچاله شده – برای توضیح اساس یک " نیرو " در آن سالها فراموش شده بود . ثانیا هیچ کوششی برای استفاده از مفاهیم میدان فاراده یا تانسور متریک ریمان برای پیدا کردن معادلات میدانی که ابر فضا از آن تبعیت می کرد به عمل نیامد . ابزار ریاضی که توسط ریمان توسعه داده شد ، بر خلاف مقاصد اصلی وی موضوع ریاضیات محض قرار گرفت . بدون تئوری میدان ، نمی توان در مورد ابر فضا ابراز نظر کرد . بنابر این با شروع قرن جدید بدگمانان ( با توجیهاتی ) ادعا کردند جز تحریک مردم با داستانهای ارواح ، هیچ انگیزه فیزیکی برای معرفی بعد چهارم وجود ندارد . با این وجود ، این وضعیت نا مطلوب به زودی تغییر می یافت . ظرف چند دهه تئوری بعد چهارم ( زمان ) برای همیشه مسیر تاریخ را تغییر می داد . این تئوری ، بمب اتمی و تئوری خود آفرینش را در اختیارمان می گذاشت و فردی که قرار بود این کار را انجام دهد فیزیکدان گمنامی بنام آلبرت انیشتن بود .
