عمل دوتایی

یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون *: G \times G \to G از G×G به توی G که به هر عضو (a،b) از G×G یک عضو یکتا چون C از G را نسبت می‌دهد.

 

لازم به یادآوری است که G×G حاصل ضرب دکارتی G در خودش است.

 

با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:

 

عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.

عمل دوتایی * یک تابع خوش تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو G×G عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.

حاصل ترکیب دو عضو (a،b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.

عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی G می‌شود، معمولاً با * یا ° نمایش می‌دهیم.

برای نمایش اینکه، * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*،G) و برای هر (a،b) عضو G×G، حاصل عمل * روی زوج مرتب (a،b) را به صورت (a،b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می‌دهیم و معمولاً برای سهولت در نوشتن a*b را نیز به صورت ab می‌نویسیم.

 

همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه را با دو نماد جمعی + و ضربی. نشان می‌دهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد.

 

اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a،b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b یا ab نشان می‌دهیم.