انتگرال رامبرگ

روش رامبرگ (Romberg) یک روش قدرتمند برای محاسبه ی انتگرال های دارای دامنه ی محدود به صورت

int{a}{b}{f(x)dx}

و با اِعمال برونیابی ریچاردسون (Richardson extrapolation) به صورت تکراری بر روی قاعده ی ذوزنقه مورد استفاده قرار می گیرد. این تکرار ها به صورت یک آرایه ی هرمی پیش می روند تا دقیق ترین پاسخ که در قله ی هرم قرار دارد بدست بیاید. روش رامبرگ یکی از روش های فرومولاسیون نیوتن-کاتس است و مقدار تابع انتگرال گیری شونده را در نقاط با فاصله ی مساوی بدست می آرود.

این روش به افتخار ورنر رامبرگ (Werner Romberg) که در سال 1955 این روش را منتشر نمود نامگذاری شده است.

اکنون به بررسی چگونگی محاسبه ی انتگرال در روش رامبرگ می پردازیم. انتگرال قاعده ی ذوزنقه برای تقریب انتگرال تابع در بازه ی delim{[}{a,b}{]} که به زیربازه تقسیم شده است به صورت زیر محاسبه می شود:

$int{a}{b}{f(x)dx} ~ = ~ {h/2} delim{[}{f(a)+f(b) + 2sum{j=1}{m-1}{f(x_{j})}}{]}$

که در آن h = (b-a)/m و x_j = a+jh در j = 0,1,...,m است (مطابق شکل زیر).

انتگرال رامبرگ

فرض کنیم یک عدد صحیح مثبت است. در اولین گام روش رامبرگ، به محاسبه ی مقادیر تقریب قاعده ی ذوزنقه با $m_1=1, m_2=2, m_3=4, ..., m_n=2^{n-1}$ می پردازیم. اندازه ی گام h_k مرتبط با m_k نیز به صورت $h_k=(b-a)/m_k=(b-a)/2^{k-1}$ محاسبه می گردد. با این توضیح، قاعده ی ذوزنقه به شکل زیر در خواهد آمد:

$int{a}{b}{f(x)dx} ~ = ~ {h_k/2} delim{[}{f(a)+f(b) + 2sum{i=1}{2^{k-1} -1}{f(a+ih_k)}}{]}$

اگر رابطه ی فوق را با استفاده از عبارت $R_{k,1}$ بازنویسی کنیم، انتگرال ذوزنقه برای های مختلف به صورت زیر قابل نوشتن است:

$R_{1,1} ~=~ {h_1/2}delim{[}{f(a)+f(b)}{]}$

$R_{2,1} ~=~ {1/2}delim{[}{R_{1,1}+h_1 f(a+h_2)}{]}$

$R_{3,1} ~=~ {1/2}delim{[}{R_{2,1}+h_2 (f(a+h_3) + f(a+3h_3))}{]}$

تقسیمات انتگرال رامبرگ

به طور کلی داریم:

$R_{k,1} ~=~ {1/2}delim{[}{R_{k-1,1}+h_{k-1} sum{i=1}{2^{k-2}}{f(a+(2i-1)h_k)} }{]}$

که در آن k=2,3,...,n می باشد.

در گام دوم می توانیم با اعمال برونیابی مقادیر دقیق تر انتگرال محاسبه شده را بیابیم. با استفاده از رابطه ی

$R_{k,j} ~=~ R_{k,j-1} + {R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}/{4^{j-1}-1}$

که در آن k=2,3,...,n و j=2,3,...,k می باشند، جدولی به شکل زیر محاسبه می گردد که آخرین عدد محاسبه شده در آن یعنی $R_{n,n}$ دقیق ترین پاسخ حاصل از روش انتگرال گیری رامبرگ را ارائه می دهد.

انتگرال-رامبرگ-با-متلب-MATLAB-Romberg-Integration

لینک های اصلی

انتگرال رامبرگ

* عَزیزٌ عَلَیَّ اَنْ اَرَی الْخَلْقَ وَلا تُری *

********