انتگرال سیمپسون

قاعده ی سیمپسون (Simpson’s rule) یکی از فرمول های نیوتن کاتس (Newton-Cotes) برای تقریب انتگرال یک تابع با استفاده از چندجمله ای های درجه دو است. قاعده ی سیسمپسون را می توان با انتگرال گیری از یک چندجمله ای لاگرانژ مرتبه سه که از سه نقطه ی متوالی و با فاصله ی یکسان روی تابع عبور کرده است استخراج نمود. فرض می کنیم این نقاط به صورت x_0, x_1, x_2 نامگذاری شده باشند، فاصله ی میان آن ها و f_n=f(x_n) در نظر گرفته شده باشد. بنابراین قاعده ی سیمپسون بیان می کند که:

$int{x_0}{x_2}{f(x)dx} ~ = int{x_0}{x_0 + 2h}{f(x)dx} ~~ approx ~~ {1/3}h(f_0+4f_1+f_2)$

از آنجا که در قاعده ی سیسمپسون از چندجمله ای های درجه دو برای تقریب تابع استفاده می شود، قاعده ی سیمپسون در محاسبه ی انتگرال توابع چندجمله ای از حداکثر درجه ی سه پاسخ دقیق ارائه می دهد. همچنین دقت این روش نسبت به قاعده ی ذوزنقه در محاسبه ی انتگرال توابع عمومی غیر چندجمله ای به مراتب بیشتر است.

بطور مثال، تابع f(x)=sin(x) را در بازه ی delim{[}{0,pi/2}{]} در نظر بگیرید (منحنی سیاه رنگ در تصویر زیر)، که در آن f(x_0=0)=0 ، $f(x_1=pi/4)=1/sqrt{2}$ و f(x_2=pi/2)=1 .

مثال قاعده سیمپسون

بنابراین از قاعده ی سیمپسون (که مساحت زیر منحنی آبی رنگ در تصویر زیر را بدست می دهد) داریم:

int{0}{pi/2}{sin(x)dx} ~~ approx ~~ {1/3}(1/4{pi})(0 + 4/sqrt{2} + 1) ~~ approx ~~ 1.00228

در صورتی که با استفاده از قاعده ی ذوزنقه (مساحت زیر منحنی قرمز) مقدار pi/4 = 0.785398 را ارائه می دهد و پاسخ دقیق مسئله نیز مقدار است.

با تقسیم بازه ی انتگرال گیری delim{[}{a,b}{]} به زیربازه های کوچکتر دقت انتگرال عددی افزایش می یابد. با فرض اینکه زیر بازه ها دارای طول مساوی h={b-a}/n است، که در آن تعداد تقسیمات بازه است، مقدار انتگرال تابع با استفاده از رابطه ی زیر قابل محاسبه است:

$int{a}{b}{f(x)dx} ~ = ~ {h/3} delim{[}{f(a)+2sum{j=1}{{n/2}-1}{f(x_{2j})}+4sum{j=1}{n/2}{f(x_{2j-1})}+f(b)}{]}$

به این رابطه انتگرال مرکب (Composite) و یا کابرد چندگانه (multiple-application) سیمپسون می گویند.

لینک های اصلی

انتگرال سیمپسون

انتگرال سیمپسون

* عَزیزٌ عَلَیَّ اَنْ اَرَی الْخَلْقَ وَلا تُری *

********