تست هوش

معمای ریاضی: شمارش صفر و یک ها در دنباله باینری

دنباله دودوئی (باینری) به طول 12 داریم از وضعیت صفر و یک های آن، سوالی مطرح می کنیم.

می دانیم تعداد دنباله دودوئی (باینری) به طول n برابر 2n است زیرا برای هر رقم دو انتخاب 1 و 0 وجود دارد. به عنوان مثال، هشت دنباله دودوئی به طول سه عبارتند از:

111    110    101    100    011    010    001    000

الف) چند دنباله دودوئی به طول 12 وجود دارند که دقیقا حاوی شش عدد 0 باشند؟

ب) چند دنباله به طول 12 وجود دارند که تعداد 0 های آن بیش از تعداد 1 هایش باشند؟ 

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

◊♦◊

پاسخ معمای ریاضی: شمارش صفر و یک ها در دنباله باینری:

الف) از 12 رقم یک یک دنباله، شش موقعیت آن به 1 ها اختصاص دارد. 924 انتخاب برای این شش موقعیت وجود دارد:

\binom{12}{6}= 924

ب) تعداد 3172=924-212 دنباله وجود دارد که در آنها تعداد 1ها و 0ها برابر نیستند. از این تعداد در نصف آنها، تعداد 0ها بیشتر از تعداد 1هاست؛ یعنی 1586 دنباله.